LiveGraphics3D とは
次に読むべきもの

とりあえず開始
トラブル対策
Details

とりあえず開始
トラブル対策
Attributes and Parameters
Interfacing with J/Link (new in version 0.30)

Producing Graphics with Mathematica
Graphics3D オブジェクトの変換
アニメーションの変換 (extended in version 1.00)
2次元グラフィックスの変換
他のグラフィックスオブジェクトの変換
Parametrized Graphics (new in version 1.00)

Limitations
Revision History

LiveGraphics3D とは

LiveGraphics3D は非商用の Java 1.1 アプレットで、 Mathematica で生成した3次元図形を、HTMLで記述したページ上に表示しまた回転させることを可能とするものである。 非商用目的であれば無償で使用することができる。 Mathematica は Wolfram Research, Inc. が開発し販売している記号・数値計算用プログラムである。 Wolfram Research はまた LiveGraphics3D を商用にライセンス販売している。

LiveGraphics3D を用いれば、 Mathematica user は誰でも Mathematica で作成した殆ど任意の3次元グラフィックスをHTMLページに直接置くことができる。 そうすれば、 Java 1.1 をサポートするブラウザ(例えば Communicator 4.0 または Internet Explorer 4.0 以上)  で、ソフトウェアの追加なしに、グラフィックスを見たりインタラクティブに回転させたりすることができる。

しかも LiveGraphics3D はアニメーションを表示したり、ステレオグラフィックスを計算したり、ハイパーリンクを組み込んだり、背景にビットマップを表示したりすることができる。

Version 1.00 LiveGraphics3D 以降、パラメータ付きグラフィックス parametrized graphics (簡単な Mathematica の式で表現されたグラフィックスでインタラクティブに式中の変数値が変更できる）をサポートしている。

次に読むべきもの

LiveGraphics3D を HTML ページに入れるに際し, Java プログラムを知る必要はない。 必要なクラスは全てコンパイル済みとなっている。 勿論、Java のアーカイブである live.jar をインストールする必要はある。 インストール の項を参照されたい。

Preparing Graphics with Mathematica の項では Mathematica でグラフィックスを作成し変換するときの追加情報やヒントが書かれている。

とりあえず開始

LiveGraphics3D アプレットを見るには Java 1.1 をサポートするブラウザ(例えば Communicator 4.0 または Internet Explorer 4.0 以上) を用い、もし Java が有効になっていないなら、編集→設定→詳細 または ツール→インターネットオプション→詳細設定で Java を有効にしておけばよい。

LiveGraphics3D アプレットが首尾よく初期化されれば、サポートされている以下のインタラクションが可能となる。

ユーザ動作	アプレットの対応動作
ドラッグ (マウス左ボタン押下)	図中のある軸を中心とした回転
ドラッグしながら左ボタンを離す	図中のある軸を中心とした自転
SHIFT キー押下中の垂直ドラッグ	ズーム
SHIFT キー押下中の水平ドラッグ	図に垂直なある軸を中心とした回転
CONTROL キー押下中の垂直ドラッグ	焦点距離の変更
CONTROL キー押下中の水平ドラッグ	ステレオ効果の強さの変更
META (ALT) キー (またはマウス右ボタン) 押下中の垂直ドラッグ	グラフィックス部品の取り外し
"o" キー	設定パラーメータを Java console (一種の Java メッセージウィンドウ) に印字
"s" キー	単一像、ステレオ像（平行法、非交差法）、ステレオ像（交差法）のトグル
HOME キー	もとの透視方向に戻す (自転なし)

グラフィックスのユーザインタフェイス.

META キーは通常 ALTERNATE キーか COMMAND キーにマップされている。 システムによっては、マウス右ボタンでエミュレートしている。 図に垂直な軸周りの回転は、背景の回転も含まれているときには、実行できない。アニメーションには、別のインタラクションが追加されている。

ユーザ行動	アプレットの対応行動
アプレット領域へ入る	アニメーション開始
アプレット領域から出る	アニメーション終了
ダブルクリック	アニメーションの停止・再開
META (ALT) キー (またはマウス右ボタン) 押下中の水平ドラッグ	フレーム移動

アニメーション用に追加されたインタフェイス

トラブル対策

以下に LiveGraphics3D アプレットを含む web ページを閲覧したときに起こると思われる問題のいくつかを挙げる。 ( LiveGraphics3D アプレットを自分の web ページに組み込もうとして発生する問題については　 Installation 項の Trouble Shooting を参照されたい)

LiveGraphics3D (や Java アプレット一般) に関する問題は、アプレットを再読み込みすることで解決する。 アプレットを再読み込みするには、SHIFTキー (Netscape) または CONTROL (Internet Explorer) キーを押下しながら再読み込み または 更新ボタンをクリックする (再読み込み・更新ボタンのクリックだけでは、HTMLコードのみ、すなわち、Java アプレットは除いて、再読み込みされる).

問題	解決方法
アプレットが見えない (灰色のボックスも見えない)	Javaをサポートする web ブラウザを用い、設定 または インターネットオプションで Java を有効にする。
灰色のボックスのみが見える (ブラウザに Java エラーメッセージが表示されることがある)	エラーメッセージが "Live.class" が見つからないというようなものであれば, web ブラウザを最新のものにし Java 1.1 がサポートされているようにする (Communicator 4.0 以上, IE 4.0 以上 または MRJ 2.1 を用いているブラウザが Java 1.1 をサポートしている) または、再読み込みを試みる。
初期化の図のみが見える (ブラウザに Java エラーメッセージが表示されることがある)	Web ページを再読み込みする. もしできるなら JIT コンパイラを無効にする.
LiveGraphics3D のエラーメッセージ	Java 1.1 が使われていることを確認する(上記). プロキシを無効にし、ブラウザを再起動し、当該ページを再読み込みする. 単に再読み込みのみで解決することが多い
特殊文字が表示されない	Java アプレットの特殊文字をサポートするブラウザは少ない ( Java 1.0 ですでに仕様の一部となっているだが)  MacOS の場合 MRJ 2.1 を IE や iCab と共に使用すればよい.
それでも解決しないとき	SHIFT キー(Netscape) や CONTROL キー(Internet Explorer) を押下しながら再読み込み・更新ボタンをクリックし、ブラウザに触らずにページの読み込みが完了するのを待つ; キャッシュをすべてクリアし, プロキシを無効にし, ブラウザを再起動する。当該URLが不適切な場合もあるので、他のブラウザ、OSを試してみるとよい.

Possible problems and solutions.

なお、詳細な Java エラーメッセージを見るには、Java コンソールを表示する。Netscape の場合、ツール→Web開発→Javaコンソールとし、Microsoft IE の場合、ツール→Javaコンソールとする。
LiveGraphics3D についての解決できない問題については、Martin Kraus に、連絡 して下さい.

Details

This subsection presents some details of the user interface. First the determination of the axis of rotation is described.

The axis of rotation is usually in the plane of the two-dimensional picture and perpendicular to the virtual line you moved with the mouse (starting from the point on which you clicked). The angle of rotation is determined by the length of that line. This allows to view the graphics from all directions. However, the presence of rotating bitmap backgrounds changes this prescription as in this case horizontal dragging will rotate about the fixed vertical axis and vertical dragging about the horizontal axis in the plane of the picture

Pressing SHIFT and dragging vertically will change the value of the parameter MAGNIFICATION. Pressing CONTROL and dragging horizontally will change the parameter STEREO_DISTANCE. (Negative values indicate the need to cross fuse while positive values are appropriate for diverge fusing.) The current settings of MAGNIFICATION, STEREO_DISTANCE and the Graphics3D options ViewPoint and ViewVertical can be printed to the Java console by pressing the "o" key while the mouse cursor is in the region of the Java applet. Web browsers supporting Java should be (and usually are) able to display the Java console. If you are using LiveGraphics3D on your own HTML page, you may copy the line containing MAGNIFICATION or STEREO_DISTANCE into the applet call and/or the settings of ViewPoint and ViewVertical into the Graphics3D definition to use them as initial values. This is probably the best way to find appropriate values for these parameters.

LiveGraphics3D で作成された図を見たり回転させたりするだけであれば、新たなソフトをインストールする必要はない。必要な Java アーカイブ等はブラウザが自動的に読み込むからである.

しかしながら、自分の web ページで LiveGraphics3D を使用するためには、Java アーカイブ live.jar を自分の HTML ファイルと同じフォルダ（ディレクトリ）においておく必要がある. web ページに画像を組み込むときと同様と考えてよい: この場合、HTML ページには画像を読み込む命令がかかれていて、ブラウザはこれを読み、デコードし、表示する. Java アーカイブの場合との違いは、Java コードは実行されるのであって、表示されるのではないということである

とりあえず開始

まず Java アーカイブ live.jar がダウンロードでき、自分のローカルな計算機に保存することができる必要がある. (ダウンロードには、SHIFTキーを押下しながらリンクをクリックするか、マウス右ボタンでクリックし、ファイルを保存する。但し、テキストファイルとして保存してはいけない.)

LiveGraphics3D は非商用目的に鍵って無料である。商用目的で使用するには製作者に 連絡 していただきたい.

live.jar ファイルをコピーした後、LiveGraphics3D アプレットを含む HTML ページを作ることになる. 対応する HTML ファイルは live.jar ファイルと同じフォルダ（ディレクトリ）におく必要がある. なお、そのフォルダ（ディレクトリ）を含むドライブ名からそのフォルダ（ディレクトリ）に至るすべてのフォルダ（ディレクトリ）名は半角文字のみにしておく方がよい。次に例を示す。

まず、 Graphics3D オブジェクトが書かれたファイルが必要である. 例えば test.m としよう。次の内容だとする:

Graphics3D[{ (* ...primitives and directives... *) },
   BoxRatios->{1,4,9} (* ...options... *)]

<HTML>
<APPLET ARCHIVE="live.jar" CODE="Live.class" WIDTH=150 HEIGHT=150 ALIGN=LEFT>
<PARAM NAME=BGCOLOR VALUE=#FFFFFF>
<PARAM NAME=MAGNIFICATION VALUE=1.>
<PARAM NAME=INPUT_FILE VALUE="test.m">
</APPLET>
</HTML>

大文字・小文字に注意してほしい。次でも同じ。

<html>
<applet ARCHIVE="live.jar" CODE="Live.class" WIDTH=200 HEIGHT=150 ALIGN=LEFT>
<param NAME=BGCOLOR VALUE=#FFFFFF>
<param NAME=MAGNIFICATION VALUE=1.>
<param NAME=INPUT_FILE VALUE="test.m">
</html>

（もっとも、小文字を使っても許されるブラウザは多い.)

Java アーカイブ live.jar とファイル test.m を同じフォルダ（ディレクトリ）におけば、この HTML ページは次の LiveGraphics3D アプレットを実行し表示する:

本例がちゃんと表示されれば、次の「トラブル対策」を飛ばし、 Attributes and Parameters で LiveGraphics3D アプレットの属性とパラメータを学ぶか Preparing Graphics with Mathematica で Graphics3D (および他のグラフィック) オブジェクトを InputForm に変換して LiveGraphics3D で使えるようにする方法を学ぶことになる.

トラブル対策

上記のように表示されないときは、フォルダ（ディレクトリ）の名称が不適切か、Java アーカイブが壊れていると考えられる。当該アプレットおよび Java アーカイブが存在するフォルダのみならず、その完全パス名に全角文字が組まれていると、ブラウザ上には灰色のボックスのみが表示されることがある。フォルダ名はすべて半角文字のものに変更する必要がある。Java アーカイブが壊れているときは、キャッシュをクリアし、プロキシを使用しないようにし、ブラウザを再起動し、Java アーカイブ live.jar 再ダウンロードする (MacOS の場合は live.hqx をダウンロードし、解凍する) 。そしてブラウザをもう一度再起動する。この再起動は壊れたアーカイブが再使用されるのを防ぐためである。

Attributes and Parameters

The LiveGraphics3D applet can be controlled by setting several attributes and parameters, as demonstrated in the Quick Start subsection. Most of the attributes and parameters are optional, however the attributes ARCHIVE, CODE, WIDTH, and HEIGHT and the parameter INPUT_FILE has to be specified. (The parameter INPUT may be used instead of INPUT_FILE.)

The applet's attributes primarily control how the applet appears within the HTML page. (See the HMTL 4.0 or HTML 3.2 Reference Specification for the official list of attributes.)

Apart from these attributes the LiveGraphics3D applet offers additional parameters controling the applet itself. These parameters have to be set with PARAM tags as shown in the Quick Start subsection. (I recommend using upper case letters for the names of these parameters.)

By default background images will always be "centered". (ViewPoint will only change the appearance of the Graphics3D object and does not affect the background image; however in the cases of CYLINDRICAL_BACKGROUND and SPHERICAL_BACKGROUND the background can be rotated initially with INITIAL_ROTATION.) There are some restrictions on rotatable images, which are explained on the page of the birds example. Please note: Some web browser do not allow Java applets like LiveGraphics3D to load images from the local file system. (Thus, do not use these web browsers.) If LiveGraphics3D cannot load an image it gets stuck in an endless loop.

In order to display stereo graphics instead of a single picture define STEREO_DISTANCE with an appropriate value (for example with the default value of 0.05).

The production of InputForms of Graphics3D objects within Mathematica is explained in the below.

Interfacing with J/Link (new in version 0.30)

J/Link is a toolkit from Wolfram Research which allows Mathematica users to call Java applets from within Mathematica. Assuming you have installed J/Link correctly and that the file live.jar is in the CLASSPATH the following code will open a new window containing a LiveGraphics3D applet:

g = Graphics3D[Plot3D[Sin[x y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]];

<< JLink`

InstallJava[]

liveApplet = JavaNew["Live"]

liveFrame = JavaNew["com.wolfram.jlink.MathAppletFrame", 
   liveApplet, {"INPUT=" <> ToString[InputForm[N[g]]], 
   "WIDTH=400", "HEIGHT=400"}];

These commands should call the Java interpreter and display the applet in a new window. Converting a Graphics3D object like g is simply done by ToString[InputForm[N[g]]] because the number of digits per number is less important in this context.

You can now control the applet from within Mathematica by calling Java methods. For example, we can change the magnification not only by dragging but also with a Mathematica command:

liveApplet@setMagnification[1.5]

There is a in fact a set of public methods available for controlling the applet. All methods return a boolean, i.e. either True or False indicating whether they were successful or not. Some of the methods are related to parameters of the applet or mouse actions as listed in the table. The syntax of the call within Mathematica is always as in the example above: applet-variable@method-name[values-for-arguments].

There are also methods to query the current values.

If you want to open several applets, you have to create new instances of both, the Live class and the MathAppletFrame class.

This section is about using Mathematica to prepare and convert graphics produced with the help of Mathematica. Therefore, the reader is assumed to have a basic knowledge of Mathematica and the possibility to execute Mathematica commands.

Producing Graphics with Mathematica

There are some built-in commands to produce three-dimensional graphics with Mathematica: Plot3D, ParametricPlot3D and ListPlot3D. Three-dimensional graphics may also be built by combining graphics primitives like Point, Line, Polygon etc. in a Graphics3D object. There are also several standard packages like Graphics`ContourPlot3D`, Graphics`Graphics3D`, Graphics`PlotField3D`, Graphics`Polyhedra`, Graphics`Shapes` or Graphics`SurfaceOfRevolution` with more commands and three-dimensional objects.

Anyway, in many cases a Graphics3D object is produced, which has to be converted into an appropriate InputForm in order to be displayed by LiveGraphics3D. This convertion is explained in the subsection Converting Graphics3D Objects, while the subsection Converting Animations describes the combination of several Graphics3D objects in an animation. Finally the subsection Converting Other Graphical Objects discusses how to convert other types of graphical objects of Mathematica into Graphics3D objects. (This covers ContourGraphics, DensityGraphics and SurfaceGraphics.)

In some cases a preprocessing of the Mathematica graphics is appropriate, e.g. when there are intersections of polygons. Together with Eric W. Weisstein I have written a Mathematica package LiveGraphics3D.m which attacks these problems. Eric has also written a small demo for it: LiveGraphics3DDemo.nb.

In general LiveGraphics3D will only be used to display graphics computed by Mathematica. However, the Graphics3D definition for a LiveGraphics3D applet can also be modified (or even created) manually. Additionally LiveGraphics might also be used to find good values for the Graphics3D options ViewPoint and ViewVertical (see above).

Graphics3D オブジェクトの変換

Graphics3D, ContourGraphics, DensityGraphics, or SurfaceGraphics オブジェクトを LiveGraphics3D で表示するには, 適切な InputForm に変換する必要がある. これは次の関数(これは Graphics3D オブジェクトのリストをアニメーションに変換する)でできる:

LiveForm[graphics_, animOpts___] := 
   Module[{graphics3d = Switch[graphics, _ContourGraphics, 
   Graphics3D[SurfaceGraphics[graphics]], _DensityGraphics, 
   Graphics3D[SurfaceGraphics[graphics]], _SurfaceGraphics, 
   Graphics3D[graphics], _, graphics]}, Switch[graphics3d, _List, 
   HoldForm[ShowAnimation][NumberForm[InputForm[N[graphics3d]], 5], 
   InputForm[N[Flatten[{animOpts}]]]], _, 
   NumberForm[InputForm[N[graphics3d]], 5]]];

もし g が Graphics3D オブジェクトであれば (例えば ParametricPlot3D の戻り値)、InputForm は LiveForm[g] によって生成できる. 結果をファイルにペーストし, そのファイル名を LiveGraphics3D のパラメータ INPUT_FILE の値とすればよい( 上の例を参照).

INPUT_FILE の値はファイル名であると仮定され、当該ファイルは LiveGraphics3D オブジェクトの InputForm が書かれていると仮定されている。勿論, そのようなファイルを Mathematica で直接作成することができる:

WriteLiveForm[filename_, graphics_, animOpts___] := 
    Module[{ps,x}, ps=Unprotect[Real]; Format[x_Real, InputForm] := 
    OutputForm[NumberForm[x, 5, NumberFormat -> (If[#3 == "", #1, 
    SequenceForm[#1, "*^", #3]] &)]]; Protect@@ps;
    WriteString[filename, ToString[LiveForm[graphics, animOpts],
    CharacterEncoding->None]]; Close[filename];
    ps=Unprotect[Real]; Format[x_Real, InputForm] =.; Protect@@ps;];

もし g が  Graphics3D オブジェクトであれば WriteLiveForm["test.m", g] を用いると、 g の適切な InputForm が test.m という名称のファイル（現在のフォルダ（ディレクトリ）に書き込まれる. ( Mathematica 関数 Directory[] で現在のフォルダ（ディレクトリ）が表示でき, FileNames[] でそのフォルダ（ディレクトリ）中のファイル名がリストでき SetDirectory["directoy name"] で、フォルダ(ディレクトリ)名をかえることができる.)

もし LiveGraphics3D が入力として受け付けられないものであれば、エラーメッセージを表示し、InputForm中の肝要な部分を表示する. しかしながら、 Mathematica  が受理できる正しい Graphics3D オブジェクトであればどれも困難なく変換できる.

しかしながら, ときには LiveGraphics3D が表示するグラフィックスと Mathematica の表示とが異なることがある. 相違点や限界については付録 Limitations に記してある

アニメーションの変換

LiveGraphics3D には相異なる2種類のアニメーションがある (単なる自転は、ここでは、アニメーションに数えない)。一つはGraphics3D オブジェクトのリストをアニメーション化するものである。これは Mathematica コマンド ShowAnimation と類似している. このリストを指定する構文は ShowAnimation[gl, opts] であり、ここで gl  は Graphics3D オブジェクトのリスト、opts は Graphics3D オプションのリスト(または列) または Mathematica's セルのオプション AnimationDirection と AnimationDisplayTime である (Graphics3D オブジェクトのリストは ,  Mathematica.のTable コマンドで容易に作成することができる)。 AnimationDirection は Forward, Backward, または ForwardBackward である; AnimationDisplayTime はそれぞれのフレームが最低何秒表示されるかを指定する.

上述 の関数 LiveForm[gl, opts] を用いれば必要なフォームが生成できる; 上述 の関数 WriteLiveForm[filename, gl, opts] はそのフォームをファイルに書き出す.

バージョン 1.00 以降、アニメーションを指定するもう一つの方法が提供されている。 時間パラメータをパラメータにもつGraphics3D オブジェクトのアニメーションである. これは Mathematica の Animate コマンドに相当する. パラメータ化されたグラフィックス parametrized graphics の詳細は 下 に記す。LiveGraphics3D の Animate コマンドの構文は Animate[g, {var, from, to, step}, opts] である。但し g は パラメータ化された Graphics3D オブジェクト, var は時間変数 time variable, from はその開始値, to は最大値, step は時間ステップの大きさ, そして opts はアニメーションオプションのリストである. 時間変数 var はアプレットパラメータ INDEPENDENT_VARIABLES で宣言されなければならず, 一方初期値は from. によって指定されなければならないことに注意 (INDEPENDENT_VARIABLES については 下記 参照.)

下記の関数は  LiveForm[g, {var, from, to, step}, opts] で呼出せば、適切なフォームを戻す. (前述と同様に, WriteLiveForm はこの関数を用いてフォームをファイルに書き出す.)

LiveForm[graphics_, {var_, from_, to_, step_}, animOpts___] := 
    Module[{},HoldForm[Animate][NumberForm[InputForm[N[graphics]], 4], 
    InputForm[N[{var,from,to,step}]],InputForm[N[Flatten[{animOpts}]]]]];

2次元グラフィックスの変換

単純な2次元グラフィックス (Graphics オブジェクト) を3次元グラフィックするに変換することは、 Mathematica コマンド Graphics`Graphics3D` パッケージの StackGraphics を用いてできる。 ViewPoint オプションを適切に設定する必要はある。 しかしながら, 複雑化を避けるために、2次元グラフィックスを3次元空間中 z-座標を 0 として構成するのがよい. 2次元グラフィックスの回転を禁止するには、 アプレットパラメータ MOUSE_DRAG_ACTION を NONE に設定するのがよい.

他の Graphical オブジェクトの変換

ContourGraphics, DensityGraphics, および SurfaceGraphics は、Graphics3D オブジェクトに変換したのち、 LiveGraphics3D で使用することができる. これは、実は、 上 で定義した関数が自動的に行ってくれる。

次の表に、標準的な Mathematica 関数, 戻り値のグラフィックスの型, およびその型のオブジェクトを g としたときの Graphics3D　オブジェクトに変換するコマンドを載せる. (なお、ParametricPlot3D は Graphics3D オブジェクトを戻す。このため表には載せてはいない.)

Parametrized Graphics (new in version 1.00)

Parametrized graphics are Graphics3D objects which contain mathematical expressions with undefined variables, e.g. Graphics3D[{Point[{x, y, 0.5*x}]}]. The display and interactive manipulation of such graphics is supported by LiveGraphics3D since version 1.00. The basic benefit of parametrized graphics is the possibility to interact with them by dragging points, i.e. when a user drags certain points, LiveGraphics3D will update the whole scene accordingly. An introduction to parametrized graphics with LiveGraphics3D is given in my talk Direct Manipulation of Parametrized Graphics, which was presented at the Mathematica Developer Conference 2001. There are also several documented examples of parametrized graphics available. The rest of this section covers (in this order) the initialization and definition of variables and details about the evaluation and specification of expressions in LiveGraphics3D.

As mentioned, parametrized graphics may contain expressions with variables, e.g. the x and y in our example Graphics3D[{Point[{x, y, 0.5*x}]}]. All variables have to be initialized or defined with the help of the applet parameters INDEPENDENT_VARIABLES and DEPENDENT_VARIABLES. (These declarations are required because the initial display of the graphics requires values for all variables in order to evaluate all expressions.)

The difference between independent and dependent variables is that independent variables may be manipulated by the user, while each dependent variable has a defined dependency on other variables, which is always enforced; thus the user may not manipulate dependent variables directly. The manipulation of independent variables is possible by dragging Point primitives with at least one coordinate that is specified directly by an independent variable. When the user drags such points, the corresponding independent variable changes its value according to the new position.

The applet parameter INDEPENDENT_VARIABLES has to be set to a list of rules of the form {identifier->number, ...}, e.g. {x->0, hello->3.1415}. This lists defines initial values for all independent variables. DEPENDENT_VARIABLES defines the dependent variables and their dependencies. Its value has to be a list of rules of the form {identifier->expression, ...}, e.g. {y->2*x, siny->Sin[y], aConstant->5, x->If[x<0,0,x]}. The expressions are simple Mathematica expressions as described below. Note that any dependent variable may depend on any independent variable, e.g. in this example the dependent variable y depends on the independent variable x. A dependent variable may also depend on preceding dependent variables, e.g. the second dependent variable siny depends on the first dependent variable y. A dependent variable may also be set to a constant value, e.g. aConstant->5. As dependent variables may not be manipulated by the user, such variables are in fact constants.

Advanced usage of DEPENDENT_VARIABLES: The rules in DEPENDENT_VARIABLES are actually used to assign new values to all dependent variables after any of the independent variables has been manipulated by the user. These assignments are performed sequentially by evaluating the expression of the right-hand side of each rule and setting the variable on the left-hand side to the result. In some cases it is convenient to use these assignments also for independent variables, e.g. in our example the rule x->If[x<0,0,x] sets x to 0 whenever the user tries to "drag" it to a negative value. (Note that x occures also in INDEPENDENT_VARIABLES.) There may be any number of rules for an independent variable in the list of DEPENDENT_VARIABLES; however, there may only be one rule for each dependent variable. (It is just convenient to have multiple rules for an independent variable, while there is no reason to permit this for dependent variables.)

Parametrized graphics may contain simple Mathematica expressions instead of coordinates within some primitives and on the right-hand side of the rules in the DEPENDENT_VARIABLES, but nowhere else! In particular, you may use an expression instead of any coordinate in a Point, Polygon, or Line primtive. You may also use expressions in the second argument of the Text primitive. However, you may not put an expression around the mentioned primitives, or within the Cuboid primitive or in any directive, e.g. RGBColor, or option, e.g. ViewPoint.

Expressions in parametrized graphics have to be rather simple. All variables have to be floating-point numbers. (Boolean values are represented by 0. (False) and 1. (True).) This implies that variables cannot be complex or rational numbers, or other objects, e.g. Lists. If any expression evaluates to a complex value (or an undefined result), the whole evaluation fails and LiveGraphics3D uses a prior set of values for independent variable that leads to a successful evaluation. The syntax of expressions is restricted to very few elements: numbers, variables, operators, and built-in functions.

The lexical rules for numbers and variables follow the usual Mathematica conventions. Any variable has to be either an independent variable, i.e. it occurs in the list specified by INDEPENDENT_VARIABLES, or a dependent variable, i.e. it occurs in the list specified by DEPENDENT_VARIABLES, or it is one of the built-in mathematical constants. (The time parameter of an Animate object has to be included in the list of independent variables.)

The operators of Mathematica supported by LiveGraphics3D are listed in the table below.

LiveGraphics3D supports quite a few of Mathematica's functions, especially functions listed in the help browser's category "Mathematical Functions". In particular, most of the functions included in the subcategories "Basic Arithmetic", "Mathematical Constants", "Numerical Functions", and "Elementary Functions" are supported. A few other mathematical and non-mathematical functions are also supported. Note that all arguments and results are restricted to real values, i.e. if any argument or result is complex, the function will fail. The tables below list the supported functions. Note that only the indicated number of arguments is supported. Also note that some functions are only roughly approximated, in particular the factorial-related functions.

Limitations

This appendix describes most of the limitations of LiveGraphics3D compared to Mathematica.

All kinds of non-decimal numbers are not allowed. This is, however, no problem as all numbers have to be "numeric" anyway, thus it is always possible to use N[...] in order to make things work.

The usage of the Text primitive is quite limited. First of all the first argument has to be a string enclosed in double quotes, e.g. Text["hello", {0,0,0}], or a StyleForm object containing a string enclosed in double quotes, e.g. Text[StyleForm["big hello", FontSize->24], {0,0,0}]. The second argument has to be a three-dimensional point and the optional third argument a two-dimensional point. Following arguments or options are ignored. The following options to StyleForm are supported: FontFamily (should be "Courier", "TimesRoman" or "Helvetica"), FontSize, FontWeight (only "Plain" and "Bold"), FontSlant (only "Plain" and "Italic"), FontColor and Background. Additionally the non-Mathematica option URL might be set to a string containing a URL and therefore changing the text into a hyperlink. Moreover the string ",target=" may be appended followed by a "target" specification (as in the TARGET attribute of the HTML A tag). Here is a real-life example:

Text[StyleForm["Mathematica\.ae", 
FontFamily->"TimesRoman", 
FontSlant->"Italic",
FontSize->20,
URL->"http://www.wolfram.com,target=_self"], 
{1,1,0}, {0,-1}]

FontForm objects and the option DefaultFont are obsolete in Mathematica 3.0; thus, LiveGraphics3D does not support them.

There is another limitation concerning the primitive Cuboid. In fact it is quite subtle and difficult to explain. In short the following four forms are not supported:

Cuboid[{..., ..., ...}, Scaled[{..., ..., ...}]]
Cuboid[Scaled[{..., ... , ...}], {..., ..., ...}]
Cuboid[Scaled[{..., ..., ...}], 
       Scaled[{..., ..., ...}, {..., ..., ...}]] 
Cuboid[Scaled[{..., ..., ...}, {..., ..., ...}], 
       Scaled[{..., ..., ...}]]

More important are the not supported graphics directives:

AbsoluteDashing[...]
Dashing[...]

(The scapegoat Java does not support dashed lines.)

Here is the list of ignored options:

AspectRatio	ImageSize	Shading
ColorOutput	Plot3Matrix	SphericalRegion
DisplayFunction	PlotRegion	ViewCenter
Epilog	PolygonIntersections
FaceGrids	Prolog
FormatType	RenderAll

Graphics3D options ignored by LiveGraphics3D.

These options might be imagined to be set to their default values automatically. With the exception of SphericalRegion which is set to True and ImageSize which is set to the values of the applet's attributes WIDTH and HEIGHT.

If specified the option TextStyle has to be set to a list of font options. (See the remark on StyleForm above.)

LiveGraphics3D does not "break" intersecting polygons, thus they are displayed incorrectly. In fact a quite simple painter algorithm is used to hide surfaces, which is far from being as good as the algorithms used in Mathematica. (Mathematica does offer to do this "breaking" for programs like LiveGraphics3D via the option PolygonIntersections, but it seems to produce always far too many polygons to be of any use.)

LiveGraphics3D does not clip primitives which are outside of the PlotRange.

In some situations the color of the wrong face of a polygon is used. The reason is the simple (but fast) alogrithm being used to decide which face is painted.

The shading is fixed, i.e. light sources are rotating with the graphics. Furthermore there are differences between the shading of Mathematica and LiveGraphics3D concerning the coordinate system in which light sources are defined and the formula for specular shading. There are also differences between Mathematica and its documentation, thus I do not take this point too seriously.

Thickness and PointSize specify lengthes in units of the length of the diagonal of the bounding box (not in units of the width of the whole plot; however with SphericalRegion->True, which is always enforced by LiveGraphics3D, and a not too small ViewPoint vector there is almost no difference). Thus the thickness of lines and the size of points depends on the distance to the spectator, which is quite reasonable for three-dimensional graphics. On the other hand AbsoluteThickness and AbsolutePointSize specify constant lengthes in pixels (not in printer points).

Text primitives may be hidden by other primitives.

PlotLabels appear at the top of the graphics (and not above the graphics). The value is restricted in the same way as the first argument of the Text primitive. (See above.)

There are some other small syntactical differences. For example EdgeForm is not allowed to have more than one argument (as documented in the Mathematica Book), while Mathematica seems to accept any number of arguments.

Revision History

This project was started on August 8th, 1997 as "Live.java". It was renamed to LiveGraphics3D with version -2.02. All changes since version -2.00 are listed here.